Commutators of Higher Order Riesz Transform Associated with Schrödinger Operators
Commutators of Higher Order Riesz Transform Associated with Schrödinger Operators
Let<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M1"><mml:mi>L</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>V</mml:mi></mml:math>be a Schrödinger operator on<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M2"><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>ℝ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math>(<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M3"><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">3</mml:mn></mml:math>), where<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M4"><mml:mi>V</mml:mi><mml:mo>≢</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">0</mml:mn></mml:math>is a nonnegative potential belonging to certain reverse Hölder class<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M5"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>B</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>s</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math>for<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M6"><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>/</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:math>. In this paper, we prove the boundedness of commutators<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M7"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>ℛ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>ℛ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>ℛ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:math>generated by the higher order Riesz transform<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" …