A Remark on the Regularity Criterion for the MHD Equations via Two Components in Morrey-Campanato Spaces
A Remark on the Regularity Criterion for the MHD Equations via Two Components in Morrey-Campanato Spaces
We consider the regularity criterion for the 3D MHD equations. It is proved that if the horizontal components of the velocity and magnetic fields satisfy <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M1"><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mtext mathvariant="bold">u</mml:mtext></mml:mrow><mml:mo>~</mml:mo></mml:mover><mml:mo>,</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mtext mathvariant="bold">b</mml:mtext></mml:mrow><mml:mo>~</mml:mo></mml:mover><mml:mi>∈</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mo>/</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>r</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo>;</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>M</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mover></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow><mml:mo>/</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>r</mml:mi></mml:mrow></mml:mrow></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:math> with <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M2"><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo><</mml:mo><mml:mi>r</mml:mi><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:math>, then the solution smooth. This improves the result given …