Solving the Variational Inequality Problem Defined on Intersection of Finite Level Sets
Solving the Variational Inequality Problem Defined on Intersection of Finite Level Sets
Consider the variational inequality<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M1"><mml:mtext>V</mml:mtext><mml:mtext>I</mml:mtext><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>C</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>F</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:math>of finding a point<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M2"><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">*</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>C</mml:mi></mml:math>satisfying the property<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M3"><mml:mo stretchy="false">〈</mml:mo><mml:mi>F</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">*</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">*</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">〉</mml:mo><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">0</mml:mn></mml:math>, for all<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M4"><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>C</mml:mi></mml:math>, where<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M5"><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi></mml:mrow></mml:math>is the intersection of finite level sets of convex functions defined on a real Hilbert space<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M6"><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow></mml:math>and<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M7"><mml:mi>F</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:mi>H</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi>H</mml:mi></mml:math>is an<mml:math …