Weighted Hardy Operators in Complementary Morrey Spaces
Weighted Hardy Operators in Complementary Morrey Spaces
We study the weighted<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M1"><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi>q</mml:mi></mml:math>-boundedness of the multidimensional weighted Hardy-type operators<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M2"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>w</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow></mml:math>and<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M3"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>ℋ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>w</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow></mml:math>with radial type weight<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M4"><mml:mi>w</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>w</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:math>, in the generalized complementary Morrey spaces<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M5"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>ℒ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∁</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">{</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">}</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>ℝ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:math>defined by an almost increasing function<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M6"><mml:mi>ψ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>ψ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>r</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:math>. We prove a …