Best Possible Bounds for Neuman-Sándor Mean by the Identric, Quadratic and Contraharmonic Means
Best Possible Bounds for Neuman-Sándor Mean by the Identric, Quadratic and Contraharmonic Means
We prove that the double inequalities<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M1"><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo><</mml:mo><mml:mi>M</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo><</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo><</mml:mo><mml:mi>M</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo><</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:math>hold for all<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M2"><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math>with<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M3"><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>≠</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi></mml:math>if and only if<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M4"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>/</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:math>,<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M5"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>log</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:mrow><mml:msqrt><mml:mn>2</mml:mn></mml:msqrt><mml:mi>log</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:msqrt><mml:mn>2</mml:mn></mml:msqrt></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>/</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>log</mml:mi><mml:msqrt><mml:mn>2</mml:mn></mml:msqrt><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:math>,<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M6"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>5</mml:mn><mml:mo>/</mml:mo><mml:mn>7</mml:mn></mml:math>, and<mml:math …