Best Constants between Equivalent Norms in Lorentz Sequence Spaces
Best Constants between Equivalent Norms in Lorentz Sequence Spaces
We find the best constants in inequalities relating the standard norm, the dual norm, and the norm<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mo>∥</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mo>∥</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>:</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>inf</mml:mi><mml:mo></mml:mo><mml:mrow><mml:mo>{</mml:mo><mml:mrow><mml:msub><mml:mo>∑</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>∥</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mrow><mml:mo>∥</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mo>}</mml:mo></mml:mrow></mml:math>, where the infimum is taken over all finite representations<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mo>∑</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:math>in the classical Lorentz sequence spaces. A crucial point in this analysis is the concept of level sequence, which we introduce and discuss. …