Arcwise Connected Domains, Quasiconformal Mappings, and Quasidisks
Arcwise Connected Domains, Quasiconformal Mappings, and Quasidisks
We prove that a homeomorphism<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M1"><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>→</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:math>is a quasiconformal mapping if and only if<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M2"><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:math>is an arcwise connected domain for any arcwise connected domain<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M3"><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>⊆</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:math>, and<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M4"><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:math>is a quasidisk if and only if both<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M5"><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:math>and its exterior<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M6"><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">*</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>∖</mml:mo><mml:mover accent="false"><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover></mml:math>are arcwise connected domains.