Cusped and Smooth Solitons for the Generalized Camassa-Holm Equation on the Nonzero Constant Pedestal
Cusped and Smooth Solitons for the Generalized Camassa-Holm Equation on the Nonzero Constant Pedestal
We investigate the traveling solitary wave solutions of the generalized Camassa-Holm equation<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M1"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo> - </mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo> + </mml:mo><mml:mn>3</mml:mn><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo> + </mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:math>on the nonzero constant pedestal<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M2"><mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">lim</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>ξ</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mo>±</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mo></mml:mo><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mi>ξ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow></mml:mrow></mml:math>. Our procedure shows that the generalized Camassa-Holm equation with nonzero constant boundary has cusped and smooth soliton solutions. Mathematical analysis and numerical …