On the Noncommutative Neutrix Product of Distributions
On the Noncommutative Neutrix Product of Distributions
Let<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="E1"><mml:mi>f</mml:mi></mml:math>and<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="E2"><mml:mi>g</mml:mi></mml:math>be distributions and let<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="E3"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>g</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>g</mml:mi><mml:mo>*</mml:mo><mml:msub><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math>, where<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="E4"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math>is a certain sequence converging to the Dirac-delta function<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="E5"><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math>. The noncommutative neutrix product<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="E6"><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo>∘</mml:mo><mml:mi>g</mml:mi></mml:mrow></mml:math>of<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="E7"><mml:mi>f</mml:mi></mml:math>and<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="E8"><mml:mi>g</mml:mi></mml:math>is defined to be the neutrix limit of the sequence<mml:math …