Nonparametric Regression with Subfractional Brownian Motion via Malliavin Calculus
Nonparametric Regression with Subfractional Brownian Motion via Malliavin Calculus
We study the asymptotic behavior of the sequence<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M1"><mml:mi mathvariant="normal" /><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mo stretchy="false">∑</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>-</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo></mml:math>as<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M2"><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:math>tends to infinity, where<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M3"><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math>and<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M4"><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math>are two independent subfractional Brownian motions with indices<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M5"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math>and<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M6"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math>, respectively.<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M7"><mml:mrow><mml:mi>K</mml:mi></mml:mrow></mml:math>is …