Notes on the Union of Weakly Primary Submodules
Notes on the Union of Weakly Primary Submodules
Let <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>R</mml:mi></mml:math> be a commutative ring with identity, and let <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>M</mml:mi></mml:math> be an <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>R</mml:mi></mml:math>-module. A proper submodule <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>N</mml:mi></mml:math> of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>M</mml:mi></mml:math> is said to be weakly primary if <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>โ </mml:mo><mml:mi>r</mml:mi><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>โ</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi></mml:math> for <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>r</mml:mi><mml:mo>โ</mml:mo><mml:mi>R</mml:mi></mml:math> and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>โ</mml:mo><mml:mi>M</mml:mi></mml:math>, which implies that either <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>โ</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi></mml:math> or <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msup><mml:mi>r</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:mi>M</mml:mi><mml:mo>โ</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi></mml:math> for โฆ