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Let<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>R</mml:mi></mml:math>be a ring and<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>M</mml:mi></mml:math>a right<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>R</mml:mi></mml:math>-module. It is shown that (1)<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>M</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math>is Noetherian if and only if<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>M</mml:mi></mml:math>satisfies ACC on<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>δ</mml:mi></mml:math>-small submodules; (2)<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>M</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math>is Artinian if and only if<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>M</mml:mi></mml:math>satisfies DCC on<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>δ</mml:mi></mml:math>-small submodules; (3)<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>M</mml:mi></mml:math>is Artinian if and only if<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>M</mml:mi></mml:math>is an amply<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>δ</mml:mi></mml:math>-supplemented module and satisfies …