Hybrid Moments of the Riemann Zeta-Function
Hybrid Moments of the Riemann Zeta-Function
The “hybrid” moments <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M1"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mo stretchy="false">∫</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"><mml:mrow><mml:mi>ζ</mml:mi><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>/</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mo stretchy="false">∫</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>G</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>G</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"><mml:mrow><mml:mi>ζ</mml:mi><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>/</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">l</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo> </mml:mo><mml:mo> </mml:mo><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>ε</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>≪</mml:mo><mml:mi>G</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>G</mml:mi><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>≪</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:math> of the Riemann zeta-function <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M2"><mml:mi>ζ</mml:mi><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mi>s</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:math> on the critical line <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M3"><mml:mi mathvariant="fraktur">R</mml:mi><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>/</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:math> are studied. The expected upper bound for the above expression is <mml:math …