Optimal Lower Generalized Logarithmic Mean Bound for the Seiffert Mean
Optimal Lower Generalized Logarithmic Mean Bound for the Seiffert Mean
We present the greatest value<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M1"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:math>such that the inequality<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M2"><mml:mrow><mml:mi>P</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>></mml:mo><mml:msub><mml:mi>L</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math>holds for all<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M3"><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math>with<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M4"><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>≠</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi></mml:mrow></mml:math>, where<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M5"><mml:mrow><mml:mi>P</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math>and<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M6"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>L</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math>denote the Seiffert and<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M7"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:math>th generalized logarithmic means of<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M8"><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow></mml:math>and<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M9"><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi></mml:mrow></mml:math>, respectively.