Generalizations of Morphic Group Rings
Generalizations of Morphic Group Rings
An element<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="E1"><mml:mi>a</mml:mi></mml:math>in a ring<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="E2"><mml:mi>R</mml:mi></mml:math>is called left morphic if there exists<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="E3"><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow></mml:math>such that<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="E4"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">1</mml:mi><mml:mi>R</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>R</mml:mi><mml:mi>b</mml:mi></mml:mrow></mml:math>and<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="E5"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">1</mml:mi><mml:mi>R</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>R</mml:mi><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow></mml:math>.<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="E6"><mml:mi>R</mml:mi></mml:math>is called left morphic if every element of<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="E7"><mml:mi>R</mml:mi></mml:math>is left morphic. An element<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="E8"><mml:mi>a</mml:mi></mml:math>in a ring<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="E9"><mml:mi>R</mml:mi></mml:math>is called left<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="E10"><mml:mi>π</mml:mi></mml:math>-morphic (resp., left<mml:math …