Norm Estimates for Solutions of Polynomial Operator Equations
Norm Estimates for Solutions of Polynomial Operator Equations
We consider the equations<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M1"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mo stretchy="false">∑</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>X</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>B</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>C</mml:mi></mml:mrow></mml:mrow></mml:math>and<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M2"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mo stretchy="false">∑</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>X</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>B</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>C</mml:mi></mml:mrow></mml:mrow></mml:math>, where<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M3"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi mathvariant="double-struck">C</mml:mi></mml:math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M4"><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>…</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:math>,<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M5"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:math>,<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M6"><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>B</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>C</mml:mi></mml:math>are given linear bounded operators in a Banach space and<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M7"><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi></mml:mrow></mml:math>is to be found. Representations of solutions are derived. In the cases of Euclidean and Hilbert spaces, …