Real Zeros of a Class of Hyperbolic Polynomials with Random Coefficients
Real Zeros of a Class of Hyperbolic Polynomials with Random Coefficients
We have proved here that the expected number of real zeros of a random hyperbolic polynomial of the form<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M1"><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>P</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:msqrt><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mtable class="smallmatrix"><mml:mtr><mml:mtd><mml:mi>n</mml:mi></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mn>1</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced></mml:msqrt><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">cosh</mml:mi></mml:mrow><mml:mo></mml:mo><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:msqrt><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mtable class="smallmatrix"><mml:mtr><mml:mtd><mml:mi>n</mml:mi></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mn>2</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced></mml:msqrt><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">cosh</mml:mi></mml:mrow><mml:mo></mml:mo><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo>⋯</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:msqrt><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mtable class="smallmatrix"><mml:mtr><mml:mtd><mml:mi>n</mml:mi></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mi>n</mml:mi></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced></mml:msqrt><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">cosh</mml:mi></mml:mrow><mml:mo></mml:mo><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mrow></mml:math>, where<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M2"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>…</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:math>is a sequence of standard Gaussian random variables, is<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M3"><mml:msqrt><mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:mrow></mml:msqrt><mml:mo>/</mml:mo><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>o</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:math>. It is shown that …