Quasi-Triangular Spaces, Pompeiu-Hausdorff Quasi-Distances, and Periodic and Fixed Point Theorems of Banach and Nadler Types
Quasi-Triangular Spaces, Pompeiu-Hausdorff Quasi-Distances, and Periodic and Fixed Point Theorems of Banach and Nadler Types
Let<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M1"><mml:mi>C</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo stretchy="false">{</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">}</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi mathvariant="script">A</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>;</mml:mo><mml:mi mathvariant="normal">∞</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">A</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:math>,<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M2"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">A</mml:mi></mml:mrow></mml:math>-index set. A quasi-triangular space<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M3"><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">P</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi><mml:mo>;</mml:mo><mml:mi mathvariant="script">A</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:math>is a set<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M4"><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi></mml:mrow></mml:math>with family<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M5"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">P</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi><mml:mo>;</mml:mo><mml:mi mathvariant="script">A</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo stretchy="false">{</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>:</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>→</mml:mo><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi mathvariant="normal">∞</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mtext> </mml:mtext><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi mathvariant="script">A</mml:mi><mml:mo stretchy="false">}</mml:mo></mml:math>satisfying<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M6"><mml:msub><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi mathvariant="script">A</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mo> ∀</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>w</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>X</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo> {</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>w</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>≤</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>w</mml:mi><mml:mo …