Formules de Picard-Lefschetz généralisées et ramification des intégrales

Abstract

Préambule.Le théorème de Picard-Lefschetz ([l], [4], [5]) décrit la ramification de l'homologie d'une variété analytique complexe au voisinage d'un point singulier quadratique.La première partie de ce travail généralise le théorème à une classe assez étendue de singularités non quadratiques.Cette première partie se suffit à elle-même, et contient, sous une forme dépouillée de toutes complications inessentielles, la méthode de raisonnement qui servira dans la suite.La partie 1 bis ne fait que reprendre la partie 1 avec d'autres groupes d'homologie.Son utilité apparaîtra dans la partie II.Celle-ci étudie la ramification d'une fonction analytique définie par une intégrale.Les « sous-variétés singulières » de l'intégrand sont supposées, comme dans la référence [2], avoir un « pincement quadratique », mais l'intégrand peut lui-même être ramifié autour de ses sous-variétés singulières; par uniformisation de l'intégrand, on se ramène alors au cas où celui-ci n'est pas ramifié, mais subit un pincement non quadratique du type étudié dans les parties 1 et 1 bis.Les résultats de cette deuxième partie, énoncés aux paragraphes 5 et 6, répondent à des préoccupations physiques.Dans la plupart des théories actuelles des interactions élémentaires [7], les propriétés analytiques des amplitudes de réaction en fonction des grandeurs cinématiques (impulsions-énergies des particules initiales et finales de la réaction) jouent un rôle dynamique essentiel : aux particules, stables ou instables, existant dans la nature, correspondent des pôles, réels ou complexes, des amplitudes de réaction; les résidus de ces pôles s'interprètent comme les forces des interactions dont ces particules sont responsables; les amplitudes ont aussi des singularités du type « point de branchement » et

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