Type: Preprint
Publication Date: 2014-11-24
Citations: 3
La conjecture de Zilber-Pink est une conjecture diophantienne concernant les intersections atypiques dans les varietes de Shimura mixtes. C’est une generalisation commune de la conjecture d’Andre-Oort et de la conjecture de Mordell-Lang. Le but de cette these est d’etudier Zilber-Pink. Plus concretement, nous etudions la conjecture d’Andre-Oort, selon laquelle une sous-variete d’une variete de Shimura mixte est speciale si son intersection avec l’ensemble des points speciaux est dense, et la conjecture d’Andre-Pink-Zannier, selon laquelle une sous-variete d’une variete de Shimura mixte est faiblement speciale si son intersection avec une orbite de Hecke generalisee est dense. Cette derniere conjecture generalise Mordell-Lang comme explique par Pink.Dans la methode de Pila-Zannier, un point clef pour etudier la conjecture de Zilber-Pink est de demontrer le theoreme d’Ax-Lindemann qui est une generalisation du theoreme classique de Lindemann-Weierstrass dans un cadre fonctionnel. Un des resultats principaux de cette these est la demonstration du theoreme d’Ax-Lindemann dans sa forme la plus generale, c’est- a-dire le theoreme d’Ax-Lindemann mixte. Ceci generalise les resultats de Pila, Pila-Tsimerman, Ullmo-Yafaev et Klingler-Ullmo-Yafaev concernant Ax-Lindemann pour les varietes de Shimura pures.Un autre resultat de cette these est la demonstration de la conjecture d’Andre-Oort pour une grande collection de varietes de Shimura mixtes : in- conditionnellement pour une variete de Shimura mixte arbitraire dont la par- tie pure est une sous-variete de AN6 (par exemple les produits des familles universelles des varietes abeliennes de dimension 6 et le fibre de Poincare sur A6) et sous GRH pour toutes les varietes de Shimura mixtes de type abelien. Ceci generalise des theoremes connus de Klinger-Ullmo-Yafaev, Pila, Pila-Tsimerman et Ullmo pour les varietes de Shimura pures.Quant a la conjecture d’Andre-Pink-Zannier, nous demontrons plusieurs cas valables lorsque la variete de Shimura mixte ambiante est la famille universelle des varietes abeliennes. Tout d’abord nous demontrons l’intersection d’Andre-Oort et Andre-Pink-Zannier, c’est-a-dire que l’on etudie l’orbite de Hecke generalisee d’un point special. Ceci generalise des resultats d’Edixhoven-Yafaev et Klingler-Ullmo-Yafaev pour Ag. Nous prouvons ensuite la conjecture dans le cas suivant : une sous-variete d’un schema abelien au dessus d’une courbe est faiblement speciale si son intersection avec l’orbite de Hecke generalisee d’un point de torsion d’une fibre non CM est Zariski dense. Finalement pour une orbite de Hecke generalisee d’un point algebrique arbitraire, nous demontrons la conjecture pour toutes les courbes. Ces deux derniers cas generalisent des resultats de Habegger-Pila et Orr pour Ag.Dans toutes les demonstrations, la theorie o-minimale, en particulier le theoreme de comptage de Pila-Wilkie, joue un role important.
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