Automorphismes et admissibilité dans les groupes de Coxeter et les monoïdes d'Artin-Tits

Abstract

Cette these est une contribution a l'etude combinatoire des groupes de Coxeter et des groupes d'Artin-Tits. Dans la premiere partie, nous completons la description du groupe des automorphismes d'un groupe de Coxeter a angles droits en etudiant le second des deux sous-groupes qui apparaissent dans la decomposition en produit semi-direct etablie par Tits (le premier est decrit par Muhlherr). Nous retrouvons ainsi le resultat de Radcliffe sur la rigidite des groupes de Coxeter a angles droits. Dans la deuxieme partie, nous introduisons et etudions la notion de sous-monoide d'un monoide d'Artin-Tits induit par une partition admissible du graphe de Coxeter, au sens de Muhlherr. Nous montrons qu'un tel sous-monoide est un monoide d'Artin-Tits, et que cette notion generalise et unifie les situations des sous-monoides des points fixes d'un monoide d'Artin-Tits sous l'action d'automorphismes du graphe, et des LCM-homomorphismes de Crisp et Godelle. Nous achevons la classification des partitions admissibles des graphes de Coxeter spheriques, commencee par Muhlherr ; elle nous fournit la classification des LCM-homomorphismes de Crisp. Dans la troisieme partie, nous etudions la representation de Krammer-Paris d'un monoide d'Artin-Tits de type simplement lace et sans triangle. Le sous-monoide des points fixes d'un tel monoide sous l'action d'un groupe d'automorphismes du graphe stabilise le sous-espace des points fixes de l'espace de la representation sous l'action de ce groupe. Nous utilisons des notions developpees par Hee pour prouver que la representation ainsi obtenue est fidele. Cela generalise, en evitant tout cas par cas, des resultats etablis par Digne dans les cas spheriques.

Locations

• HAL (Le Centre pour la Communication Scientifique Directe) - View - PDF