Secant loci of scrolls over curves

Abstract

Given a curve <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper C"> <mml:semantics> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">C</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and a linear series <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="script l"> <mml:semantics> <mml:mi>ℓ</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\ell</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> on <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper C"> <mml:semantics> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">C</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, the secant locus <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper V Subscript e Superscript e minus f Baseline left-parenthesis script l right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>ℓ</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">V^{e-f}_e( \ell )</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> parametrises effective divisors of degree <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="e"> <mml:semantics> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">e</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> which impose at most <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="e minus f"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">e-f</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> conditions on <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="script l"> <mml:semantics> <mml:mi>ℓ</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\ell</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. For <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper E right-arrow upper C"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">→</mml:mo> <mml:mi>C</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">E \to C</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> a vector bundle of rank <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="r"> <mml:semantics> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">r</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, we define determinantal subschemes <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper H Subscript e Superscript e minus f Baseline left-parenthesis script l right-parenthesis subset-of-or-equal-to normal upper H normal i normal l normal b Superscript e Baseline left-parenthesis double-struck upper P upper E right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>ℓ</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>⊆</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="normal">H</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">i</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">l</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">b</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>e</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">P</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">H^{e-f}_e ( \ell )\subseteq \mathrm {Hilb}^e ( \mathbb {P}E )</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper Q Subscript e Superscript e minus f Baseline left-parenthesis upper V right-parenthesis subset-of-or-equal-to normal upper Q normal u normal o normal t Superscript 0 comma e Baseline left-parenthesis upper E Superscript asterisk Baseline right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>⊆</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="normal">Q</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">u</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">o</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">t</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>e</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">Q^{e-f}_e(V)\subseteq \mathrm {Quot}^{0, e} ( E^* )</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> which generalise <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper V Subscript e Superscript e minus f Baseline left-parenthesis script l right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>ℓ</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">V^{e-f}_e( \ell )</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, giving several examples. We describe the Zariski tangent spaces of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper Q Subscript e Superscript e minus f Baseline left-parenthesis upper V right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">Q^{e-f}_e(V)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, and give examples showing that smoothness of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper Q Subscript e Superscript e minus f Baseline left-parenthesis upper V right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">Q^{e-f}_e(V)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is not necessarily controlled by injectiveness of a Petri map. We generalise the Abel–Jacobi map and the notion of linear series to the context of Quot schemes. We give some sufficient conditions for nonemptiness of generalised secant loci, and a criterion in the complete case when <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="f equals 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">f = 1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> in terms of the Segre invariant <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="s 1 left-parenthesis upper E right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">s_1 (E)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. This leads to a geometric characterisation of semistability similar to that in [Quot schemes, Segre invariants, and inflectional loci of scrolls over curves, Geom. Dedicata 205 (2020), 1–19]. Using these ideas, we also give a partial answer to a question of Lange on very ampleness of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="script upper O Subscript double-struck upper P upper E Baseline left-parenthesis 1 right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">O</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">P</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>E</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathcal {O}_{\mathbb {P}E}(1)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, and show that for any curve, <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper Q Subscript e Superscript e minus 1 Baseline left-parenthesis upper V right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">Q^{e-1}_e(V)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is either empty or of the expected dimension for sufficiently general <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper E"> <mml:semantics> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">E</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper V"> <mml:semantics> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">V</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. When <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper Q Subscript e Superscript e minus 1 Baseline left-parenthesis upper V right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">Q^{e-1}_e(V)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> has and attains expected dimension zero, we use formulas of Oprea–Pandharipande and Stark to enumerate <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper Q Subscript e Superscript e minus 1 Baseline left-parenthesis upper V right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">Q^{e-1}_e(V)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. We mention several possible avenues of further investigation.

Locations

• Contemporary mathematics - American Mathematical Society - View
• arXiv (Cornell University) - View - PDF