Semilinear damped wave equations on the Heisenberg group with initial data from Sobolev spaces of negative order

Abstract

Abstract In this paper, we focus on studying the Cauchy problem for semilinear damped wave equations involving the sub-Laplacian $$\mathcal {L}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>L</mml:mi> </mml:math> on the Heisenberg group $$\mathbb {H}^n$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>H</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:math> with power type nonlinearity $$|u|^p$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msup> </mml:math> and initial data taken from Sobolev spaces of negative order homogeneous Sobolev space $$\dot{H}^{-\gamma }_{\mathcal {L}}(\mathbb {H}^n), \gamma &gt;0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mover> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mo>˙</mml:mo> </mml:mover> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>γ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>H</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , on $$\mathbb {H}^n$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>H</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:math> . In particular, in the framework of Sobolev spaces of negative order, we prove that the critical exponent is the exponent $$p_{\text {crit}}(Q, \gamma )=1+\frac{4}{Q+2\gamma },$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mtext>crit</mml:mtext> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn>4</mml:mn> <mml:mrow> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>γ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> for $$\gamma \in (0, \frac{Q}{2})$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> , where $$Q:=2n+2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> is the homogeneous dimension of $$\mathbb {H}^n$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>H</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:math> . More precisely, we establish A global-in-time existence of small data Sobolev solutions of lower regularity for $$p&gt;p_{\text {crit}}(Q, \gamma )$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mtext>crit</mml:mtext> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> in the energy evolution space; A finite time blow-up of weak solutions for $$1&lt;p&lt;p_{\text {crit}}(Q, \gamma )$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mtext>crit</mml:mtext> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> under certain conditions on the initial data by using the test function method. Furthermore, to precisely characterize the blow-up time, we derive sharp upper bound and lower bound estimates for the lifespan in the subcritical case.

Locations

• Journal of Evolution Equations - View - PDF