Monotone Nondecreasing Sequences of the Euler Totient Function

Abstract

Abstract Let M ( x ) denote the largest cardinality of a subset of $$\{n \in \mathbb {N}: n \le x\}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>}</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> on which the Euler totient function $$\varphi (n)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>φ</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> is nondecreasing. We show that $$M(x) = \left( 1+O\left( \frac{(\log \log x)^5}{\log x}\right) \right) \pi (x)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mfenced> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>O</mml:mi> <mml:mfenced> <mml:mfrac> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mo>log</mml:mo> <mml:mo>log</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>5</mml:mn> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>log</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mfenced> </mml:mfenced> <mml:mi>π</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> for all $$x \ge 10$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>10</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , answering questions of Erdős and Pollack–Pomerance–Treviño. A similar result is also obtained for the sum of divisors function $$\sigma (n)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>σ</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> .

Locations

• La Matematica - View - PDF
• La Matematica - View - PDF
• La Matematica - View - PDF