Generalized Cesàro operator acting on Hilbert spaces of analytic functions

Abstract

Abstract Let $$\mathbb {D}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>D</mml:mi> </mml:math> denote the unit disc in $$\mathbb {C}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>C</mml:mi> </mml:math> . We define the generalized Cesàro operator as follows: $$\begin{aligned} C_{\omega }(f)(z)=\int _0^1 f(tz)\left( \frac{1}{z}\int _0^z B^{\omega }_t(u)\,\textrm{d}u\right) \,\omega (t)\textrm{d}t, \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mi>ω</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mo>∫</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mfenced> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mi>z</mml:mi> </mml:mfrac> <mml:msubsup> <mml:mo>∫</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mi>z</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:msubsup> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mi>ω</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mspace/> <mml:mtext>d</mml:mtext> <mml:mi>u</mml:mi> </mml:mfenced> <mml:mspace/> <mml:mi>ω</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mtext>d</mml:mtext> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> where $$\{B^{\omega }_\zeta \}_{\zeta \in \mathbb {D}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mi>ζ</mml:mi> <mml:mi>ω</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mo>}</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>ζ</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>D</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> are the reproducing kernels of the Bergman space $$A^{2}_{\omega }$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msubsup> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>ω</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msubsup> </mml:math> induced by a radial weight $$\omega $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>ω</mml:mi> </mml:math> in the unit disc $$\mathbb {D}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>D</mml:mi> </mml:math> . We study the action of the operator $$C_{\omega }$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mi>ω</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> on weighted Hardy spaces of analytic functions $$\mathcal {H}_{\gamma }$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mi>γ</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> , $$\gamma &gt;0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> and on general weighted Bergman spaces $$A^{2}_{\mu }$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msubsup> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msubsup> </mml:math> .

Locations

• Annals of Functional Analysis - View - PDF