Local systems and Suzuki groups

Abstract

We study geometric monodromy groups <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper G Subscript normal g normal e normal o normal m comma script upper F Sub Subscript q Subscript"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="normal">g</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">e</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">o</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">m</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">F</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">G_{{\mathrm {geom}},\mathcal {F}_q}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> of the local systems <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="script upper F Subscript q"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">F</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathcal {F}_q</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> on the affine line over <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper F 2"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">F</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathbb {F}_2</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> of rank <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper D equals StartRoot q slash 2 EndRoot left-parenthesis q minus 1 right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msqrt> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msqrt> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">D=\sqrt {q/2}(q-1)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="q equals 2 Superscript 2 n plus 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msup> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">q=2^{2n+1}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, constructed in N. Katz [<italic>Exponential sums, Ree groups and Suzuki groups: conjectures</italic>, Exp. Math. <bold>28</bold> (2019), 49-56.]. The main result of the paper shows that <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper G Subscript normal g normal e normal o normal m comma script upper F Sub Subscript q Subscript"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="normal">g</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">e</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">o</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">m</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">F</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">G_{{\mathrm {geom}},\mathcal {F}_q}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is either the Suzuki simple group <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="squared upper B 2 left-parenthesis q right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mspace width="negativethinmathspace"/> <mml:msub> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{}^2 \! B_2(q)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, or the special linear group <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="normal upper S normal upper L Subscript upper D"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="normal">S</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">L</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>D</mml:mi> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathrm {SL}_D</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. We also show that <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="script upper F 8"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">F</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>8</mml:mn> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathcal {F}_8</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> has geometric monodromy group <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="squared upper B 2 left-parenthesis 8 right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mspace width="negativethinmathspace"/> <mml:msub> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>8</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{}^2 \!B_2(8)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, and arithmetic monodromy group <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="normal upper A normal u normal t left-parenthesis squared upper B 2 left-parenthesis 8 right-parenthesis right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="normal">A</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">u</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">t</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mspace width="negativethinmathspace"/> <mml:msub> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>8</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathrm {Aut}({}^2 \! B_2(8))</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> over <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper F 2"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">F</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathbb {F}_2</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, thus establishing Katz’s Conjecture 2.2 in the above cited paper in the case <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="q equals 8"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>8</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">q=8</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>.

Locations

• Contemporary mathematics - American Mathematical Society - View
• arXiv (Cornell University) - View - PDF