Subcritical Gaussian multiplicative chaos in the Wiener space: construction, moments and volume decay

Abstract

Abstract We construct and study properties of an infinite dimensional analog of Kahane’s theory of Gaussian multiplicative chaos (Kahane in Ann Sci Math Quebec 9(2):105-150, 1985). Namely, if $$H_T(\omega )$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mi>T</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>ω</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> is a random field defined w.r.t. space-time white noise $$\dot{B}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mover> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mo>˙</mml:mo> </mml:mover> </mml:math> and integrated w.r.t. Brownian paths in $$d\ge 3$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , we consider the renormalized exponential $$\mu _{\gamma ,T}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> , weighted w.r.t. the Wiener measure $$\mathbb {P}_0(\textrm{d}\omega )$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mtext>d</mml:mtext> <mml:mi>ω</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> . We construct the almost sure limit $$\mu _\gamma = \lim _{T\rightarrow \infty } \mu _{\gamma ,T}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mi>γ</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mo>lim</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> in the entire weak disorder (subcritical) regime and call it subcritical GMC on the Wiener space . We show that $$\begin{aligned} \mu _\gamma \Big \{\omega : \lim _{T\rightarrow \infty } \frac{H_T(\omega )}{T(\phi \star \phi )(0)} \ne \gamma \Big \}=0 \qquad \text{ almost } \text{ surely, } \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mi>γ</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>{</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>ω</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:munder> <mml:mo>lim</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mi>T</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>ω</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>ϕ</mml:mi> <mml:mo>⋆</mml:mo> <mml:mi>ϕ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo>≠</mml:mo> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>}</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mspace /> <mml:mspace /> <mml:mtext>almost</mml:mtext> <mml:mspace /> <mml:mspace /> <mml:mtext>surely,</mml:mtext> <mml:mspace /> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> meaning that $$\mu _\gamma $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mi>γ</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> is supported almost surely only on $$\gamma $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>γ</mml:mi> </mml:math> - thick paths , and consequently, the normalized version is singular w.r.t. the Wiener measure. We then characterize uniquely the limit $$\mu _\gamma $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mi>γ</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> w.r.t. the mollification scheme $$\phi $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>ϕ</mml:mi> </mml:math> in the sense of Shamov (J Funct Anal 270:3224–3261, 2016) – we show that the law of $$\dot{B}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mover> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mo>˙</mml:mo> </mml:mover> </mml:math> under the random rooted measure $$\mathbb Q_{\mu _\gamma }(\textrm{d}\dot{B}\textrm{d}\omega )= \mu _\gamma (\textrm{d}\omega ,\dot{B})P(\textrm{d}\dot{B})$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mi>γ</mml:mi> </mml:msub> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mtext>d</mml:mtext> <mml:mover> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mo>˙</mml:mo> </mml:mover> <mml:mtext>d</mml:mtext> <mml:mi>ω</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mi>γ</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mtext>d</mml:mtext> <mml:mi>ω</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mover> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mo>˙</mml:mo> </mml:mover> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mtext>d</mml:mtext> <mml:mover> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mo>˙</mml:mo> </mml:mover> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> is the same as the law of the distribution $$f\mapsto \dot{B}(f)+ \gamma \int _0^\infty \int _{\mathbb {R}^d} f(s,y) \phi (\omega _s-y) \textrm{d}s \textrm{d}y$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>↦</mml:mo> <mml:mover> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mo>˙</mml:mo> </mml:mover> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:msubsup> <mml:mo>∫</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:msub> <mml:mo>∫</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:msup> </mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>ϕ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>ω</mml:mi> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mtext>d</mml:mtext> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mtext>d</mml:mtext> <mml:mi>y</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> under $$P \otimes \mathbb {P}_0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mo>⊗</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> . We then determine the fractal properties of the measure around $$\gamma $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>γ</mml:mi> </mml:math> -thick paths: $$-C_2 \le \liminf _{\varepsilon \downarrow 0} \varepsilon ^2 \log {\widehat{\mu }}_\gamma (\Vert \omega \Vert&lt; \varepsilon ) \le \limsup _{\varepsilon \downarrow 0}\sup _\eta \varepsilon ^2 \log {\widehat{\mu }}_\gamma (\Vert \omega -\eta \Vert &lt; \varepsilon ) \le -C_1$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:msub> <mml:mo>lim inf</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>ε</mml:mi> <mml:mo>↓</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mi>ε</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>log</mml:mo> <mml:msub> <mml:mover> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mo>^</mml:mo> </mml:mover> <mml:mi>γ</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mo>‖</mml:mo> <mml:mi>ω</mml:mi> <mml:mo>‖</mml:mo> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mi>ε</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:msub> <mml:mo>lim sup</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>ε</mml:mi> <mml:mo>↓</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mo>sup</mml:mo> <mml:mi>η</mml:mi> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mi>ε</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>log</mml:mo> <mml:msub> <mml:mover> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mo>^</mml:mo> </mml:mover> <mml:mi>γ</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mo>‖</mml:mo> <mml:mi>ω</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>η</mml:mi> <mml:mo>‖</mml:mo> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mi>ε</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> w.r.t a weighted norm $$\Vert \cdot \Vert $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>‖</mml:mo> <mml:mo>·</mml:mo> <mml:mo>‖</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> . Here $$C_1&gt;0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> and $$C_2&lt;\infty $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> are the uniform upper (resp. pointwise lower) Hölder exponents which are explicit in the entire weak disorder regime. Moreover, they converge to the scaling exponent of the Wiener measure as the disorder approaches zero. Finally, we establish negative and $$L^p$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msup> </mml:math> ( $$p&gt;1$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> ) moments for the total mass of $$\mu _\gamma $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mi>γ</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> in the weak disorder regime.

Locations

• Probability Theory and Related Fields - View - PDF