Multiple normalized solutions for the planar Schrödinger–Poisson system with critical exponential growth

Abstract

Abstract The paper deals with the existence of normalized solutions for the following Schrödinger–Poisson system with $$L^2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:math> -constraint: $$\begin{aligned} \left\{ \begin{array}{ll} -\Delta u+\lambda u+\mu \left( \log |\cdot |*u^2\right) u=\left( e^{u^2}-1-u^2\right) u, &amp;{} x\in {\mathbb {R}}^2, \\ \int _{{\mathbb {R}}^2}u^2\textrm{d}x=c, \\ \end{array} \right. \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mfenced> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>Δ</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mfenced> <mml:mrow> <mml:mo>log</mml:mo> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mo>·</mml:mo> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mrow /> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mfenced> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mfenced> <mml:msup> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:msup> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mfenced> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mrow /> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mrow /> <mml:msub> <mml:mo>∫</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mtext>d</mml:mtext> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> where $$\mu &gt;0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , $$\lambda \in {\mathbb {R}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> will arise as a Lagrange multiplier and the nonlinearity enjoys critical exponential growth of Trudinger-Moser type. By specifying explicit conditions on the energy level c , we detect a geometry of local minimum and a minimax structure for the corresponding energy functional, and prove the existence of two solutions, one being a local minimizer and one of mountain-pass type. In particular, to catch a second solution of mountain-pass type, some sharp estimates of energy levels are proposed, suggesting a new threshold of compactness in the $$L^2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:math> -constraint. Our study extends and complements the results of Cingolani–Jeanjean (SIAM J Math Anal 51(4): 3533-3568, 2019) dealing with the power nonlinearity $$a|u|^{p-2}u$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> in the case of $$a&gt;0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> and $$p&gt;4$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , which seems to be the first contribution in the context of normalized solutions. Our model presents some new difficulties due to the intricate interplay between a logarithmic convolution potential and a nonlinear term of critical exponential type and requires a novel analysis and the implementation of new ideas, especially in the compactness argument. We believe that our approach will open the door to the study of other $$L^2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:math> -constrained problems with critical exponential growth, and the new underlying ideas are of future development and applicability.

Locations

• Mathematische Zeitschrift - View - PDF