Type: Article
Publication Date: 2023-07-01
Citations: 8
DOI: https://doi.org/10.1007/s00454-023-00523-y
Abstract A well-known open problem of Meir and Moser asks if the squares of sidelength 1/ n for $$n\ge 2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> can be packed perfectly into a rectangle of area $$\sum _{n=2}^\infty n^{-2}=\pi ^2/6-1$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:msup> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>π</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mn>6</mml:mn> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> . In this paper we show that for any $$1/2<t<1$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo><</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo><</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , and any $$n_0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:math> that is sufficiently large depending on t , the squares of sidelength $$n^{-t}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> for $$n\ge n_0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> can be packed perfectly into a square of area $$\sum _{n=n_0}^\infty n^{-2t}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:msup> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> . This was previously known (if one packs a rectangle instead of a square) for $$1/2<t\le 2/3$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo><</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> (in which case one can take $$n_0=1$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> ).