<i>m</i>-Isometric tensor products

Abstract

Abstract Given Banach space operators <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>S</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>i</m:mi> </m:mrow> </m:msub> </m:math> {S}_{i} and <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>T</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>i</m:mi> </m:mrow> </m:msub> </m:math> {T}_{i} , <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mi>i</m:mi> <m:mo>=</m:mo> <m:mn>1</m:mn> <m:mo>,</m:mo> <m:mn>2</m:mn> </m:math> i=1,2 , we use elementary properties of the left and right multiplication operators to prove, that if the tensor products pair <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>S</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> </m:msub> <m:mo>⊗</m:mo> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>S</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>2</m:mn> </m:mrow> </m:msub> <m:mo>,</m:mo> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>T</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> </m:msub> <m:mo>⊗</m:mo> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>T</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>2</m:mn> </m:mrow> </m:msub> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> </m:math> \left({S}_{1}\otimes {S}_{2},{T}_{1}\otimes {T}_{2}) is strictly <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mi>m</m:mi> </m:math> m -isometric, i.e., <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:msubsup> <m:mrow> <m:mi mathvariant="normal">Δ</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>S</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> </m:msub> <m:mo>⊗</m:mo> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>S</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>2</m:mn> </m:mrow> </m:msub> <m:mo>,</m:mo> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>T</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> </m:msub> <m:mo>⊗</m:mo> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>T</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>2</m:mn> </m:mrow> </m:msub> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>m</m:mi> </m:mrow> </m:msubsup> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>I</m:mi> <m:mo>⊗</m:mo> <m:mi>I</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> <m:mo>=</m:mo> <m:msubsup> <m:mrow> <m:mrow> <m:mo>∑</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>j</m:mi> <m:mo>=</m:mo> <m:mn>0</m:mn> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>m</m:mi> </m:mrow> </m:msubsup> <m:msup> <m:mrow> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mo>−</m:mo> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>j</m:mi> </m:mrow> </m:msup> <m:mfenced open="(" close=")"> <m:mrow> <m:mtable> <m:mtr> <m:mtd columnalign="center"> <m:mi>m</m:mi> </m:mtd> </m:mtr> <m:mtr> <m:mtd columnalign="center"> <m:mi>j</m:mi> </m:mtd> </m:mtr> </m:mtable> </m:mrow> </m:mfenced> <m:msup> <m:mrow> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>S</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> </m:msub> <m:mo>⊗</m:mo> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>S</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>2</m:mn> </m:mrow> </m:msub> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>m</m:mi> <m:mo>−</m:mo> <m:mi>j</m:mi> </m:mrow> </m:msup> <m:msup> <m:mrow> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>T</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> </m:msub> <m:mo>⊗</m:mo> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>T</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>2</m:mn> </m:mrow> </m:msub> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>m</m:mi> <m:mo>−</m:mo> <m:mi>j</m:mi> </m:mrow> </m:msup> <m:mo>=</m:mo> <m:mn>0</m:mn> </m:math> {\Delta }_{{S}_{1}\otimes {S}_{2},{T}_{1}\otimes {T}_{2}}^{m}\left(I\otimes I)={\sum }_{j=0}^{m}{\left(-1)}^{j}\left(\begin{array}{c}m\\ j\end{array}\right){\left({S}_{1}\otimes {S}_{2})}^{m-j}{\left({T}_{1}\otimes {T}_{2})}^{m-j}=0 , then there exist a non-zero scalar <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mi>c</m:mi> </m:math> c and positive integers <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>m</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> </m:msub> <m:mo>,</m:mo> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>m</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>2</m:mn> </m:mrow> </m:msub> <m:mo>≤</m:mo> <m:mi>m</m:mi> </m:math> {m}_{1},{m}_{2}\le m such that <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mi>m</m:mi> <m:mo>=</m:mo> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>m</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> </m:msub> <m:mo>+</m:mo> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>m</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>2</m:mn> </m:mrow> </m:msub> <m:mo>−</m:mo> <m:mn>1</m:mn> </m:math> m={m}_{1}+{m}_{2}-1 , <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>S</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> </m:msub> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>c</m:mi> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>T</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> </m:msub> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> </m:math> \left({S}_{1},c{T}_{1}) is strict- <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>m</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> </m:msub> </m:math> {m}_{1} -isometric and <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mfenced open="(" close=")"> <m:mrow> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>S</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>2</m:mn> </m:mrow> </m:msub> <m:mo>,</m:mo> <m:mfrac> <m:mrow> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>c</m:mi> </m:mrow> </m:mfrac> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>T</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>2</m:mn> </m:mrow> </m:msub> </m:mrow> </m:mfenced> </m:math> \left({S}_{2},\frac{1}{c}{T}_{2}\right) is strict <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>m</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>2</m:mn> </m:mrow> </m:msub> </m:math> {m}_{2} -isometric.

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• Concrete Operators - View - PDF