Joint ergodicity of piecewise monotone interval maps

Abstract

Abstract For <?CDATA $i = 0, 1, 2, \dots, k$?> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>…</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:math> , let µ i be a Borel probability measure on <?CDATA $[0,1]$?> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> </mml:math> which is equivalent to the Lebesgue measure λ and let <?CDATA $T_i:[0,1] \rightarrow [0,1]$?> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:msub> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">→</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> </mml:math> be µ i -preserving ergodic transformations. We say that transformations <?CDATA $T_0, T_1, \dots, T_k$?> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:msub> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>…</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> are uniformly jointly ergodic with respect to <?CDATA $(\lambda; \mu_0, \mu_1, \dots, \mu_k)$?> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>…</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:math> if for any <?CDATA $f_0, f_1, \dots, f_k \in L^{\infty}$?> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>…</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> , <?CDATA \begin{align*} \lim\limits_{N -M \rightarrow \infty} \frac{1}{N-M } \sum\limits_{n=M}^{N-1} f_0 ( T_0^{\,n} x) \cdot f_1 (T_1^{\,n} x) \cdots f_k (T_k^{\,n} x) = \prod_{i=0}^k \int f_i \, d \mu_i \quad \text{in } L^2(\lambda). \end{align*}?> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi>lim</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>M</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:munderover> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>M</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mrow> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>⋯</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:munderover> <mml:mo>∏</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mrow> <mml:mo>∫</mml:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mstyle> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mtext>in </mml:mtext> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>.</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> We establish convenient criteria for uniform joint ergodicity and obtain numerous applications, most of which deal with interval maps. Here is a description of one such application. Let T G denote the Gauss map, <?CDATA $T_G(x) = \frac{1}{x} \, (\bmod \, 1)$?> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:msub> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mi>G</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mfrac> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">m</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">o</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">d</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:math> , and, for β &gt; 1, let T β denote the β -transformation defined by <?CDATA $T_{\beta} x = \beta x \, (\bmod \,1)$?> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:msub> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>β</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">m</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">o</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">d</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:math> . Let T 0 be an ergodic interval exchange transformation. Let <?CDATA $\beta_1 , \ldots , \beta_k$?> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:msub> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>…</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> be distinct real numbers with <?CDATA $\beta_i \gt1$?> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:msub> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:math> and assume that <?CDATA $\log \beta_i \ne \frac{\pi^2}{6 \log 2}$?> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mo>log</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>≠</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:msup> <mml:mi>π</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mn>6</mml:mn> <mml:mo form="prefix">log</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:math> for all <?CDATA $i = 1, 2, \dots, k$?> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>…</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:math> . Then for any <?CDATA $f_{0}, f_1, f_{2}, \dots, f_{k+1} \in L^{\infty} (\lambda)$?> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>…</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:math> , <?CDATA \begin{align*} & \lim\limits_{N -M \rightarrow \infty} \frac{1}{N -M } \sum\limits_{n=M}^{N-1} f_{0} (T_0^{\,n} x) \cdot f_{1} (T_{\beta_1}^{\,n} x) \cdots f_{k} (T_{\beta_k}^{\,n} x) \cdot f_{k+1} (T_G^{\,n} x) \\[6pt] & \quad = \int f_{0} \, d \lambda \cdot \prod_{i=1}^k \int f_{i} \, d \mu_{\beta_i} \cdot \int f_{k+1} \, d \mu_G \quad \text{in } L^{2}(\lambda). \end{align*}?> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" overflow="scroll"> <mml:mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" columnspacing="0.2777777777777778em 2em 0.2777777777777778em 2em 0.2777777777777778em 2em 0.2777777777777778em 2em 0.2777777777777778em 2em 0.2777777777777778em" rowspacing="3pt"> <mml:mtr> <mml:mtd /> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:munder> <mml:mo form="prefix">lim</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">→</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:munder> </mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>M</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mo movablelimits="false">∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>M</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:munderover> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>⋯</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd /> <mml:mtd> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo>∫</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mo>∏</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:munderover> </mml:mrow> <mml:mo>∫</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:mo>∫</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mi>G</mml:mi> </mml:msub> <mml:mtext>in </mml:mtext> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>.</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> We also study the phenomenon of joint mixing . Among other things we establish joint mixing for skew tent maps and for restrictions of finite Blaschke products to the unit circle.

Locations

• Nonlinearity - View
• arXiv (Cornell University) - View - PDF