Equivalence of Liouville measure and Gaussian free field

Abstract

Etant donnée une réalisation h d’un champ libre Gaussien dans un domaine D du plan et une constante γ∈(0,2) il est possible de donner un sens à la mesure aléatoire μh:=eγh(z)dz dite de gravité quantique de Liouville, dont il est connu qu’elle est une fonction mesurable du champ h. Nous montrons la réciproque de ce résultat : c’est-à-dire, h est entièrement déterminé de façon mesurable par la mesure μh. Plus généralement, étant donné un ensemble fractal fermé A aléatoire équipé d’une mesure de Frostman de référence σ (tous deux indépendants de h), il est possible de construire le chaos multiplicatif Gaussien μσ,h de h par rapport à σ. Nous donnons une condition simple et générique sur (A,σ) sous laquelle μσ,h détermine la restriction de h à σ, ou plus précisément l’extension harmonique de h en dehors de A. Cette condition est satisfaite par la mesure d’occupation du mouvement Brownien plan et par des courbes SLE munies de paramétrisations naturelles. En cours de route nous obtenons des résultats généraux sur les moments positifs du chaos multiplicatif Gaussien. Contrairement à de précédents travaux, nous ne faisons pas d’hypothèse sur la mesure de référence σ de type invariance par échelle. Les résultats ainsi obtenus peuvent donc être d’un intérêt indépendant.

Locations

• Annales de l Institut Henri Poincaré Probabilités et Statistiques - View
• arXiv (Cornell University) - View - PDF