General Reiteration Theorems for $${{\mathcal {R}}}$$ and $${{\mathcal {L}}}$$ Classes: Case of Right $${{\mathcal {R}}}$$-Spaces and Left $${{\mathcal {L}}}$$-Spaces

Abstract

Abstract Given $$E_0, E_1, E, F$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>F</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> rearrangement invariant spaces, $$a, \mathrm {b}, \mathrm {b}_0, \mathrm {b}_1$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> slowly varying functions and $$0\le \theta _0&lt;\theta _1\le 1$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>θ</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>θ</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , we characterize the interpolation spaces $$\begin{aligned} ({\overline{X}}_{\theta _0,\mathrm {b}_0,E_0}, {\overline{X}}^{{\mathcal {R}}}_{\theta _1, \mathrm {b}_1,E_1,a,F})_{\theta ,\mathrm {b},E}\quad \text {and}\quad ({\overline{X}}^{{\mathcal {L}}}_{\theta _0, \mathrm {b}_0,E_0,a,F}, {\overline{X}}_{\theta _1,\mathrm {b}_1,E_1})_{\theta ,\mathrm {b},E}, \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mover> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>¯</mml:mo> </mml:mover> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>θ</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mover> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>¯</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>θ</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>F</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>θ</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>E</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mspace /> <mml:mtext>and</mml:mtext> <mml:mspace /> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mover> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>¯</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>θ</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>F</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>L</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mover> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>¯</mml:mo> </mml:mover> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>θ</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>θ</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>E</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> for all possible values of $$\theta \in [0,1]$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>θ</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> . Applications to interpolation identities for grand and small Lebesgue spaces, Gamma spaces and A and B -type spaces are given.

Locations

• Mediterranean Journal of Mathematics - View - PDF