Hardy inequalities

Abstract

Here the following Hardy inequalities are studied <disp-formula content-type="math/mathml"> \[ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="sigma-summation Underscript k equals 0 Overscript m minus 1 Endscripts integral StartFraction StartAbsoluteValue nabla Superscript k Baseline u EndAbsoluteValue Superscript p Baseline d Subscript partial-differential normal upper Omega Baseline left-parenthesis x right-parenthesis Superscript t Baseline Over d Subscript partial-differential normal upper Omega Baseline left-parenthesis x right-parenthesis Superscript left-parenthesis m minus k right-parenthesis p Baseline EndFraction d x less-than-or-equal-to upper A Subscript normal upper Omega Baseline integral StartAbsoluteValue nabla Superscript m Baseline u EndAbsoluteValue Superscript p Baseline d Subscript partial-differential normal upper Omega Baseline left-parenthesis x right-parenthesis Superscript t Baseline d x"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mo movablelimits="false">∑<!-- ∑ --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>∫<!-- ∫ --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mfrac> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi mathvariant="normal">∇<!-- ∇ --></mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">Ω<!-- Ω --></mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">Ω<!-- Ω --></mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>≤<!-- ≤ --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">Ω<!-- Ω --></mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>∫<!-- ∫ --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi mathvariant="normal">∇<!-- ∇ --></mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">Ω<!-- Ω --></mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\sum \limits _{k = 0}^{m - 1} {\int {\frac {{|{\nabla ^k}u{|^p}{d_{\partial \Omega }}{{(x)}^t}}}{{{d_{\partial \Omega }}{{(x)}^{(m - k)p}}}}dx \leq {A_\Omega }\int {|{\nabla ^m}u{|^p}{d_{\partial \Omega }}{{(x)}^t}dx} } }</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> \] </disp-formula> for <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="u element-of upper C 0 Superscript normal infinity Baseline left-parenthesis normal upper Omega right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>∈<!-- ∈ --></mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">Ω<!-- Ω --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">u \in C_0^\infty (\Omega )</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, an open proper subset of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="bold upper R Superscript upper N"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{{\mathbf {R}}^N}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="t greater-than t 0"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">t &gt; {t_0}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, some small positive <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="t 0"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{t_0}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. This inequality has previously been shown to hold for bounded Lipschitz domains. The question discussed is, How general can <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="normal upper Omega"> <mml:semantics> <mml:mi mathvariant="normal">Ω<!-- Ω --></mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\Omega</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be and allow the same inequality? A sufficient condition is given in the form of a local Maz’ja capacity condition. In <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="bold upper R squared"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{{\mathbf {R}}^2}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, or generally if <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p greater-than upper N minus 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">p &gt; N - 1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, this is satisfied for any <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="normal upper Omega"> <mml:semantics> <mml:mi mathvariant="normal">Ω<!-- Ω --></mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\Omega</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> which is deformable to a point. Furthermore, if <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p greater-than upper N"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">p &gt; N</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> the condition is satisfied for all <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="normal upper Omega"> <mml:semantics> <mml:mi mathvariant="normal">Ω<!-- Ω --></mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\Omega</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>.

Locations

• Proceedings of the American Mathematical Society - View - PDF