Type: Article
Publication Date: 1974-09-01
Citations: 2
DOI: https://doi.org/10.1090/s0002-9939-1974-99954-0
We provide a simple proof (and mild improvement) of Schnol’s result that <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper L squared"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{L^2}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> eigenfunctions of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="negative normal upper Delta plus upper V"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>V</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">- \Delta + V</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> are <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper O left-parenthesis exp left-parenthesis minus a r right-parenthesis right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>O</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>exp</mml:mi> <mml:mo></mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">O(\exp ( - ar))</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> for any <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="a greater-than 0"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">a > 0</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> whenever <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper V right-arrow normal infinity"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">→</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">∞</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">V \to \infty</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> as <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="r right-arrow normal infinity"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">→</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">∞</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">r \to \infty</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>.