Real Lines on Random Cubic Surfaces

Abstract

Abstract We give an explicit formula for the expectation of the number of real lines on a random invariant cubic surface, i.e., a surface $$Z\subset {\mathbb {R}}{\mathrm {P}}^3$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>Z</mml:mi> <mml:mo>⊂</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>P</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> defined by a random gaussian polynomial whose probability distribution is invariant under the action of the orthogonal group O (4) by change of variables. Such invariant distributions are completely described by one parameter $$\lambda \in [0,1]$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> and as a function of this parameter the expected number of real lines equals: $$\begin{aligned} E_\lambda =\frac{9(8\lambda ^2+(1-\lambda )^2)}{2\lambda ^2+(1-\lambda )^2}\left( \frac{2\lambda ^2}{8\lambda ^2+(1-\lambda )^2}-\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\sqrt{\frac{8\lambda ^2+(1-\lambda )^2}{20\lambda ^2+(1-\lambda )^2}}\right) . \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mi>λ</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn>9</mml:mn> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>8</mml:mn> <mml:msup> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:msup> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mfenced> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:msup> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>8</mml:mn> <mml:msup> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:msqrt> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn>8</mml:mn> <mml:msup> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>20</mml:mn> <mml:msup> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:msqrt> </mml:mfenced> <mml:mo>.</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> This result generalizes previous results by Basu et al. (Math Ann 374(3–4):1773–1810, 2019) for the case of a Kostlan polynomial, which corresponds to $$\lambda =\frac{1}{3}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:math> and for which $$E_{\frac{1}{3}}=6\sqrt{2}-3.$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mfrac> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>6</mml:mn> <mml:msqrt> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msqrt> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mo>.</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> Moreover, we show that the expectation of the number of real lines is maximized by random purely harmonic cubic polynomials, which corresponds to the case $$\lambda =1$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> and for which $$E_1=24\sqrt{\frac{2}{5}}-3$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>24</mml:mn> <mml:msqrt> <mml:mfrac> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mn>5</mml:mn> </mml:mfrac> </mml:msqrt> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> .

Locations

• Arnold Mathematical Journal - View - PDF
• arXiv (Cornell University) - View - PDF
• DataCite API - View