Weighted Davis Inequalities for Martingale Square Functions

Abstract

Abstract For a Hilbert space-valued martingale $$(f_{n})$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> and an adapted sequence of positive random variables $$(w_{n})$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>w</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> , we show the weighted Davis-type inequality $$\begin{aligned} {\mathbb {E}}\left( {|}f_{0}{|} w_{0} + \frac{1}{4} \sum _{n=1}^{N} \frac{{|}df_{n}{|}^{2}}{f^{*}_{n}} w_{n} \right) \le {\mathbb {E}}( f^{*}_{N} w^{*}_{N}). \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mfenced> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>w</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:munderover> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:munderover> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mrow /> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mfrac> <mml:msub> <mml:mi>w</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:mfenced> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mrow /> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:msubsup> <mml:mi>w</mml:mi> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mrow /> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>.</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> More generally, for a martingale $$(f_{n})$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> with values in a $$(q,\delta )$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>δ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> -uniformly convex Banach space, we show that $$\begin{aligned} {\mathbb {E}}\left( {|}f_{0}{|} w_{0} + \delta \sum _{n=1}^{\infty } \frac{{|}df_{n}{|}^{q}}{(f^{*}_{n})^{q-1}} w_{n} \right) \le C_{q} {\mathbb {E}}( f^{*} w^{*}). \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mfenced> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>w</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>δ</mml:mi> <mml:munderover> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:munderover> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mrow /> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mfrac> <mml:msub> <mml:mi>w</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:mfenced> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:msub> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mrow /> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mi>w</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mrow /> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>.</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> These inequalities unify several results about the martingale square function.

Locations

• Journal of Theoretical Probability - View - PDF
• arXiv (Cornell University) - View - PDF