Global Well-Posedness for $$H^{-1}(\mathbb {R})$$ Perturbations of KdV with Exotic Spatial Asymptotics

Abstract

Abstract Given a suitable solution V ( t , x ) to the Korteweg–de Vries equation on the real line, we prove global well-posedness for initial data $$u(0,x) \in V(0,x) + H^{-1}(\mathbb {R})$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> . Our conditions on V do include regularity but do not impose any assumptions on spatial asymptotics. We show that periodic profiles $$V(0,x)\in H^5(\mathbb {R}/\mathbb {Z})$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mn>5</mml:mn> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mi>Z</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> satisfy our hypotheses. In particular, we can treat localized perturbations of the much-studied periodic traveling wave solutions (cnoidal waves) of KdV. In the companion paper Laurens (Nonlinearity. 35(1):343–387, 2022. https://doi.org/10.1088/1361-6544/ac37f5 ) we show that smooth step-like initial data also satisfy our hypotheses. We employ the method of commuting flows introduced in Killip and Vişan (Ann. Math. (2) 190(1):249–305, 2019. https://doi.org/10.4007/annals.2019.190.1.4 ) where $$V\equiv 0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mo>≡</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> . In that setting, it is known that $$H^{-1}(\mathbb {R})$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> is sharp in the class of $$H^s(\mathbb {R})$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> spaces.

Locations

• Communications in Mathematical Physics - View - PDF
• arXiv (Cornell University) - View - PDF