Simultaneous Small Fractional Parts of Polynomials

Abstract

Abstract Let $$f_1,\dots ,f_k\in \mathbb {R}[X]$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>⋯</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> be polynomials of degree at most d with $$f_1(0)=\dots =f_k(0)=0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo>⋯</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> . We show that there is an $$n&lt;x$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> such that $$\Vert f_i(n)\Vert _{\mathbb {R}/\mathbb {Z}}\ll x^{c/k}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>‖</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>‖</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mi>Z</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>≪</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> for all $$1\le i\le k$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> for some constant $$c=c(d)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> depending only on d . This is essentially optimal in the k -aspect, and improves on earlier results of Schmidt who showed the same result with $$c/k^2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> in place of c / k .

Locations

• arXiv (Cornell University) - View - PDF
• Oxford University Research Archive (ORA) (University of Oxford) - View - PDF
• Geometric and Functional Analysis - View - PDF