Small zeros of quadratic forms over number fields. II

Abstract

Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper F"> <mml:semantics> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">F</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be a nontrivial quadratic form in <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper N"> <mml:semantics> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">N</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> variables with coefficients in a number field <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="k"> <mml:semantics> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">k</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="script upper Z"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">Z</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathcal {Z}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be a subspace of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="k Superscript upper N"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{k^N}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> of dimension <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper M comma 1 less-than-or-equal-to upper M less-than-or-equal-to upper N"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>≤<!-- ≤ --></mml:mo> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mo>≤<!-- ≤ --></mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">M,1 \leq M \leq N</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. If <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper F"> <mml:semantics> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">F</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> restricted to <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="script upper Z"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">Z</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathcal {Z}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> vanishes on a subspace of dimension <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper L comma 1 less-than-or-equal-to upper L greater-than upper M"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>≤<!-- ≤ --></mml:mo> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mi>M</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">L,1 \leq L &gt; M</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, and if the rank of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper F"> <mml:semantics> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">F</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> restricted to <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="script upper Z"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">Z</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathcal {Z}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is greater than <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper M minus upper L"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mi>L</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">M - L</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, then we show that <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper F"> <mml:semantics> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">F</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> must vanish on <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper M minus upper L plus 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">M - L + 1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> distinct subspaces <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="script upper X 0 comma script upper X 1 comma ellipsis comma script upper X Subscript upper M minus upper L Baseline"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">X</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">X</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>…<!-- … --></mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">X</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mi>L</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{\mathcal {X}_0},{\mathcal {X}_1}, \ldots ,{\mathcal {X}_{M - L}}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> in <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="script upper Z"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">Z</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathcal {Z}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> each of which has dimension <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper L"> <mml:semantics> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">L</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. Moreover, we show that for each pair <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="script upper X 0 comma script upper X 1 comma 1 less-than-or-equal-to l less-than-or-equal-to upper M minus upper L"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">X</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">X</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>≤<!-- ≤ --></mml:mo> <mml:mi>l</mml:mi> <mml:mo>≤<!-- ≤ --></mml:mo> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mi>L</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{\mathcal {X}_0},{\mathcal {X}_1},1 \leq l \leq M - L</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, the product of their heights <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper H left-parenthesis script upper X 0 right-parenthesis upper H left-parenthesis script upper X 1 right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">X</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">X</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">H({\mathcal {X}_0})H({\mathcal {X}_1})</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is relatively small. Our results generalize recent work of Schlickewei and Schmidt.

Locations

• Transactions of the American Mathematical Society - View - PDF