Syzygies : algebra, combinatorics and geometry

Abstract

La regularite de Castelnuovo-Mumford est l'un des principaux invariants numeriques permettant de mesurer la complexite de la structure des modules gradues de type fini sur des anneaux polynomiaux. Il mesure le degre maximal des generateurs des modules de syzygies. Dans cette these, nous etudions la regularite de Castelnuovo-Mumford avec differents points de vue et, dans certaines parties, nous nous concentrons principalement sur les syzygies lineaires. Dans le chapitre 2, nous etudions la regularite des homologies de Koszul et des cycles de Koszul de quotients unidimensionnels. Dans le chapitre 3, nous etudions les proprietes de Lefschetz faibles et fortes d'une classe d'ideaux monomiaux artiniens. Nous donnons, dans certains cas, une reponse affirmative a une conjecture d'Eisenbud, Huneke et Ulrich. Dans les chapitres 4 et 5, nous etudions deux comportements asymptotiques differents de la regularite de Castelnuovo-Mumford. Dans le chapitre 4, nous travaillons sur un quotient d'une algebre noetherienne standard par suite reguliere homogene. Au chapitre 5, nous etudions la regularite des puissances des ideaux monomiaux associes aux graphes en haltere. Dans le chapitre 6, nous travaillons sur des espaces projectifs. Au debut de ce chapitre, nous presentons un package pour le logiciel informatique Macaulay2. De plus, nous etudions les cohomologies des intersections completes dans Pnx Pm.

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