Central values of L-functions of cubic twists

Abstract

Abstract We are interested in finding for which positive integers D we have rational solutions for the equation $$x^3+y^3=D.$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>3</mml:mn></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>3</mml:mn></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math> The aim of this paper is to compute the value of the L -function $$L(E_D, 1)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>E</mml:mi><mml:mi>D</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math> for the elliptic curves $$E_D: x^3+y^3=D$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>E</mml:mi><mml:mi>D</mml:mi></mml:msub><mml:mo>:</mml:mo><mml:msup><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>3</mml:mn></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>3</mml:mn></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:math> . For the case of p prime $$p\equiv 1\mod 9$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>≡</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mspace/><mml:mo>mod</mml:mo><mml:mspace/><mml:mn>9</mml:mn></mml:mrow></mml:math> , two formulas have been computed by Rodriguez-Villegas and Zagier. We have computed formulas that relate $$L(E_D, 1)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>E</mml:mi><mml:mi>D</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math> to the square of a trace of a modular function at a CM point. This offers a criterion for when the integer D is the sum of two rational cubes. Furthermore, when $$L(E_D, 1)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>E</mml:mi><mml:mi>D</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math> is nonzero we get a formula for the number of elements in the Tate–Shafarevich group and we show that this number is a square when D is a norm in $${\mathbb {Q}}[\sqrt{-3}]$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi><mml:mo>[</mml:mo><mml:msqrt><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msqrt><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow></mml:math> .

Locations

• Mathematische Annalen - View - PDF
• arXiv (Cornell University) - View - PDF
• MPG.PuRe (Max Planck Society) - View - PDF
• DataCite API - View