On Generalized Arakawa–Kaneko Zeta Functions with Parameters a,b,c

Abstract

For <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M2"><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>ℤ</mml:mi></mml:math>, the generalized Arakawa–Kaneko zeta functions with <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M3"><mml:mi>a</mml:mi></mml:math>, <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M4"><mml:mi>b</mml:mi></mml:math>, <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M5"><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> parameters are given by the Laplace-Mellin integral <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M6"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ξ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"><mml:mrow><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>;</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>/</mml:mo><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi><mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"><mml:mrow><mml:mi>s</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mstyle displaystyle="true"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mo stretchy="false">∫</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>∞</mml:mi></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mtext>Li</mml:mtext></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>b</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>/</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>−</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfenced><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mrow></mml:mstyle><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>t</mml:mi></mml:math>, where <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M7"><mml:mi>ℜ</mml:mi><mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"><mml:mrow><mml:mi>s</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math> and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M8"><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math> if <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M9"><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:math>, and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M10"><mml:mi>ℜ</mml:mi><mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"><mml:mrow><mml:mi>s</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math> and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M11"><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:math> if <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M12"><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math>. In this paper, an interpolation formula between these generalized zeta functions and the poly-Bernoulli polynomials with <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M13"><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> parameters is obtained. Moreover, explicit, difference, and Raabe’s formulas for <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M14"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ξ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"><mml:mrow><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>;</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:math> are derived.

Locations

• International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences - View - PDF
• DOAJ (DOAJ: Directory of Open Access Journals) - View