Type: Article
Publication Date: 2020-07-16
Citations: 5
DOI: https://doi.org/10.1155/2020/5898735
Spectral graph theory plays an important role in engineering. Let <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M1"><mml:mi>G</mml:mi></mml:math> be a simple graph of order <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M2"><mml:mi>n</mml:mi></mml:math> with vertex set <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M3"><mml:mi>V</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>…</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced></mml:math>. For <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M4"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>V</mml:mi></mml:math>, the degree of the vertex <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M5"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:math>, denoted by <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M6"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:math>, is the number of the vertices adjacent to <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M7"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:math>. The arithmetic-geometric adjacency matrix <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M8"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>g</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"><mml:mrow><mml:mi>G</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:math> of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M9"><mml:mi>G</mml:mi></mml:math> is defined as the <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M10"><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>×</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi></mml:math> matrix whose <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M11"><mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:math> entry is equal to <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M12"><mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mo>/</mml:mo><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:msqrt><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:msqrt></mml:mrow></mml:mfenced></mml:math> if the vertices <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M13"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:math> and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M14"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:math> are adjacent and 0 otherwise. The arithmetic-geometric spectral radius and arithmetic-geometric energy of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M15"><mml:mi>G</mml:mi></mml:math> are the spectral radius and energy of its arithmetic-geometric adjacency matrix, respectively. In this paper, some new upper bounds on arithmetic-geometric energy are obtained. In addition, we present the Nordhaus–Gaddum-type relations for arithmetic-geometric spectral radius and arithmetic-geometric energy and characterize corresponding extremal graphs.