Diffeomorphism groups of critical regularity

Abstract

Abstract Let M be a circle or a compact interval, and let $$\alpha =k+\tau \ge 1$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>τ</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> be a real number such that $$k=\lfloor \alpha \rfloor $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo>⌊</mml:mo> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>⌋</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> . We write $${{\,\mathrm{Diff}\,}}_+^{\alpha }(M)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mspace/> <mml:mi>Diff</mml:mi> <mml:mspace/> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> for the group of orientation preserving $$C^k$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msup> </mml:math> diffeomorphisms of M whose k th derivatives are Hölder continuous with exponent $$\tau $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>τ</mml:mi> </mml:math> . We prove that there exists a continuum of isomorphism types of finitely generated subgroups $$G\le {{\,\mathrm{Diff}\,}}_+^\alpha (M)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mspace/> <mml:mi>Diff</mml:mi> <mml:mspace/> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> with the property that G admits no injective homomorphisms into $$\bigcup _{\beta &gt;\alpha }{{\,\mathrm{Diff}\,}}_+^\beta (M)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mo>⋃</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mspace/> <mml:mi>Diff</mml:mi> <mml:mspace/> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>β</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> . We also show the dual result: there exists a continuum of isomorphism types of finitely generated subgroups G of $$\bigcap _{\beta &lt;\alpha }{{\,\mathrm{Diff}\,}}_+^\beta (M)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mo>⋂</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mspace/> <mml:mi>Diff</mml:mi> <mml:mspace/> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>β</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> with the property that G admits no injective homomorphisms into $${{\,\mathrm{Diff}\,}}_+^\alpha (M)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mspace/> <mml:mi>Diff</mml:mi> <mml:mspace/> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> . The groups G are constructed so that their commutator groups are simple. We give some applications to smoothability of codimension one foliations and to homomorphisms between certain continuous groups of diffeomorphisms. For example, we show that if $$\alpha \ge 1$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> is a real number not equal to 2, then there is no nontrivial homomorphism $${{\,\mathrm{Diff}\,}}_+^\alpha (S^1)\rightarrow \bigcup _{\beta &gt;\alpha }{{\,\mathrm{Diff}\,}}_+^{\beta }(S^1)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mspace/> <mml:mi>Diff</mml:mi> <mml:mspace/> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:msub> <mml:mo>⋃</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mspace/> <mml:mi>Diff</mml:mi> <mml:mspace/> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>β</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> . Finally, we obtain an independent result that the class of finitely generated subgroups of $${{\,\mathrm{Diff}\,}}_+^1(M)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mspace/> <mml:mi>Diff</mml:mi> <mml:mspace/> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> is not closed under taking finite free products.

Locations

• Inventiones mathematicae - View - PDF