A note on singular integrals with angular integrability

Abstract

Abstract In this note we study the rough singular integral $$ T_{\varOmega }f(x)=\mathrm{p.v.} \int _{\mathbb{R}^{n}}f(x-y)\frac{\varOmega (y/ \vert y \vert )}{ \vert y \vert ^{n}}\,dy, $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mi>Ω</mml:mi> </mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>.</mml:mo> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>.</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mo>∫</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:msup> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mspace /> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:math> where $n\geq 2$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:math> and Ω is a function in $L\log L(\mathrm{S} ^{n-1})$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mo>log</mml:mo> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:math> with vanishing integral. We prove that $T_{\varOmega }$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mi>Ω</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> is bounded on the mixed radial-angular spaces $L_{|x|}^{p}L_{\theta }^{\tilde{p}}( \mathbb{R}^{n})$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msubsup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:msubsup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>θ</mml:mi> <mml:mover> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>˜</mml:mo> </mml:mover> </mml:msubsup> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:math> , on the vector-valued mixed radial-angular spaces $L_{|x|}^{p}L_{\theta }^{\tilde{p}}(\mathbb{R}^{n},\ell ^{\tilde{p}})$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msubsup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:msubsup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>θ</mml:mi> <mml:mover> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>˜</mml:mo> </mml:mover> </mml:msubsup> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>ℓ</mml:mi> <mml:mover> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>˜</mml:mo> </mml:mover> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:math> and on the vector-valued function spaces $L^{p}(\mathbb{R}^{n}, \ell ^{\tilde{p}})$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>ℓ</mml:mi> <mml:mover> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>˜</mml:mo> </mml:mover> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:math> if $1&lt;\tilde{p}\leq p&lt;\tilde{p}n/(n-1)$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mover> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>˜</mml:mo> </mml:mover> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mover> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>˜</mml:mo> </mml:mover> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:math> or $\tilde{p}n/(\tilde{p}+n-1)&lt; p\leq \tilde{p}&lt;\infty $ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mover> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>˜</mml:mo> </mml:mover> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mover> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>˜</mml:mo> </mml:mover> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mover> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>˜</mml:mo> </mml:mover> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:math> . The same conclusions hold for the well-known Riesz transforms and directional Hilbert transforms. It should be pointed out that our proof is based on the Calderón–Zygmund’s rotation method.

Locations

• DOAJ (DOAJ: Directory of Open Access Journals) - View
• Journal of Inequalities and Applications - View - PDF