Strong Law of Large Numbers for a Function of the Local Times of a Transient Random Walk in $${\mathbb {Z}}^d$$

Abstract

Abstract For an arbitrary transient random walk $$(S_n)_{n\ge 0}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>S</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:math> in $${\mathbb {Z}}^d$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>Z</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:msup></mml:math> , $$d\ge 1$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math> , we prove a strong law of large numbers for the spatial sum $$\sum _{x\in {\mathbb {Z}}^d}f(l(n,x))$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:msub><mml:mo>∑</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>Z</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:msup></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>f</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>l</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math> of a function f of the local times $$l(n,x)=\sum _{i=0}^n{\mathbb {I}}\{S_i=x\}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msubsup><mml:mo>∑</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:msubsup><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>{</mml:mo><mml:msub><mml:mi>S</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>}</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math> . Particular cases are the number of visited sites [first considered by Dvoretzky and Erdős (Proceedings of the Second Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability, pp 353–367, 1951)], which corresponds to the function $$f(i)={\mathbb {I}}\{i\ge 1\}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>I</mml:mi><mml:mo>{</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>}</mml:mo></mml:mrow></mml:math> ; $$\alpha $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>α</mml:mi></mml:math> -fold self-intersections of the random walk [studied by Becker and König (J Theor Probab 22:365–374, 2009)], which corresponds to $$f(i)=i^\alpha $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mi>i</mml:mi><mml:mi>α</mml:mi></mml:msup></mml:mrow></mml:math> ; sites visited by the random walk exactly j times [considered by Erdős and Taylor (Acta Math Acad Sci Hung 11:137–162, 1960) and Pitt (Proc Am Math Soc 43:195–199, 1974)], where $$f(i)={\mathbb {I}}\{i=j\}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>I</mml:mi><mml:mo>{</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>}</mml:mo></mml:mrow></mml:math> .

Locations

• Journal of Theoretical Probability - View - PDF