Nonlinear Elliptic Boundary Value Problems at Resonance with Nonlinear Wentzell Boundary Conditions

Abstract

Given a bounded domain <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M1"><mml:mi mathvariant="normal">Ω</mml:mi><mml:mo>⊂</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:math> with a Lipschitz boundary <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M2"><mml:mo>∂</mml:mo><mml:mi mathvariant="normal">Ω</mml:mi></mml:math> and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M3"><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>q</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi mathvariant="normal">∞</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:math>, we consider the quasilinear elliptic equation <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M4"><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>f</mml:mi></mml:math> in <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M5"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Ω</mml:mi></mml:mrow></mml:math> complemented with the generalized Wentzell-Robin type boundary conditions of the form <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M6"><mml:mi>b</mml:mi><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:msup><mml:mrow><mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"><mml:mrow><mml:mo>∇</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mrow><mml:mo>∂</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="bold">n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>ρ</mml:mi><mml:mi>b</mml:mi><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>q</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>g</mml:mi></mml:math> on <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M7"><mml:mo>∂</mml:mo><mml:mi mathvariant="normal">Ω</mml:mi></mml:math>. In the first part of the article, we give necessary and sufficient conditions in terms of the given functions <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M8"><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow></mml:math>, <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M9"><mml:mrow><mml:mi>g</mml:mi></mml:mrow></mml:math> and the nonlinearities <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M10"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math>, <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M11"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math>, for the solvability of the above nonlinear elliptic boundary value problems with the nonlinear boundary conditions. In other words, we establish a sort of “nonlinear Fredholm alternative” for our problem which extends the corresponding Landesman and Lazer result for elliptic problems with linear homogeneous boundary conditions. In the second part, we give some additional results on existence and uniqueness and we study the regularity of the weak solutions for these classes of nonlinear problems. More precisely, we show some global a priori estimates for these weak solutions in an <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M12"><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">∞</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math>-setting.

Locations

• arXiv (Cornell University) - View - PDF
• DOAJ (DOAJ: Directory of Open Access Journals) - View
• Advances in Mathematical Physics - View - PDF