Uniform rectifiability and harmonic measure I: Uniform rectifiability implies Poisson kernels in $L^p$ ,

Abstract

We present a higher dimensional, scale-invariant version of a classical theorem of F. and M. Riesz [RR].More precisely, we establish scale invariant absolute continuity of harmonic measure with respect to surface measure, along with higher integrability of the Poisson kernel, for a domain Ω ⊂ R n+1 , n ≥ 2, with a uniformly rectifiable boundary, which satisfies the Harnack Chain condition plus an interior (but not exterior) corkscrew condition.In a companion paper to this one [HMU], we also establish a converse, in which we deduce uniform rectifiability of the boundary, assuming scale invariant L q bounds, with q > 1, on the Poisson kernel.Résumé.On présente une version invariante par échelles et en dimension supérieure à 3 d'un théorème classique de F. et M. Riesz [RR].Plus précisément, on établit l'absolue continuité de la mesure harmonique par rapport à la mesure de surface, ainsi qu'un gain d'intégrabilité pour le noyau de Poisson, pour un domaine Ω ⊂ R n+1 , n ≥ 2, à bord uniformément rectifiable, vérifiant une condition de chaîne de Harnack et une condition de type "points d'ancrage" ou "corkscrew" intérieure (mais pas extérieure).L'article associé [HMU] établit une réciproque, c'est-à-dire l'uniforme rectifiabilité du bord en supposant des estimées invariantes par échelle L q pour q > 1 sur le noyau de Poisson.

Locations

• Annales Scientifiques de l École Normale Supérieure - View
• arXiv (Cornell University) - View - PDF