The 𝛼-boundification of 𝛼

Abstract

A space <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper X"> <mml:semantics> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">X</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="greater-than alpha"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mi>α<!-- α --></mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">&gt; \alpha</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>-bounded if for all <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper A subset-of-or-equal-to upper X"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo>⊆<!-- ⊆ --></mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">A \subseteq X</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="StartAbsoluteValue upper A EndAbsoluteValue greater-than alpha"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mi>α<!-- α --></mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">|A| &gt; \alpha</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="c l Subscript upper X Baseline upper A"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>cl</mml:mi> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mspace width="thickmathspace" /> <mml:mi>A</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{\operatorname {cl} _X}\;A</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is compact. Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper B left-parenthesis alpha right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>α<!-- α --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">B(\alpha )</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be the smallest <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="greater-than alpha"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mi>α<!-- α --></mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">&gt; \alpha</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>-bounded subspace of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="beta left-parenthesis alpha right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>β<!-- β --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>α<!-- α --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\beta (\alpha )</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> containing <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="alpha"> <mml:semantics> <mml:mi>α<!-- α --></mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\alpha</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. It is shown that the following properties are equivalent: (a) <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="alpha"> <mml:semantics> <mml:mi>α<!-- α --></mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\alpha</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is a singular cardinal; (b) <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper B left-parenthesis alpha right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>α<!-- α --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">B(\alpha )</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is not locally compact; (c) <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper B left-parenthesis alpha right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>α<!-- α --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">B(\alpha )</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="alpha"> <mml:semantics> <mml:mi>α<!-- α --></mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\alpha</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>-pseudocompact; (d) <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper B left-parenthesis alpha right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>α<!-- α --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">B(\alpha )</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is initially <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="alpha"> <mml:semantics> <mml:mi>α<!-- α --></mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\alpha</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>-compact. Define <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper B Superscript 0 Baseline left-parenthesis alpha right-parenthesis equals alpha"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>α<!-- α --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>α<!-- α --></mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{B^0}(\alpha ) = \alpha</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper B Superscript n Baseline left-parenthesis alpha right-parenthesis equals left-brace c l Subscript beta left-parenthesis alpha right-parenthesis Baseline upper A colon upper A subset-of-or-equal-to upper B Superscript n minus 1 Baseline left-parenthesis alpha right-parenthesis comma StartAbsoluteValue upper A EndAbsoluteValue greater-than alpha right-brace"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>α<!-- α --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo fence="false" stretchy="false">{</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>cl</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>β<!-- β --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>α<!-- α --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo>⊆<!-- ⊆ --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>α<!-- α --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mi>α<!-- α --></mml:mi> <mml:mo fence="false" stretchy="false">}</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{B^n}(\alpha ) = \{ {\operatorname {cl} _{\beta (\alpha )}}A:A \subseteq {B^{n - 1}}(\alpha ),|A| &gt; \alpha \}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> for <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="0 greater-than n greater-than omega"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mi>ω<!-- ω --></mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">0 &gt; n &gt; \omega</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. We also prove that <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper B squared left-parenthesis alpha right-parenthesis not-equals upper B cubed left-parenthesis alpha right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>α<!-- α --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>≠<!-- ≠ --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>α<!-- α --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{B^2}(\alpha ) \ne {B^3}(\alpha )</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> when <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="omega equals c f left-parenthesis alpha right-parenthesis greater-than alpha"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>ω<!-- ω --></mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>cf</mml:mi> <mml:mo>⁡<!-- ⁡ --></mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>α<!-- α --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mi>α<!-- α --></mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\omega = \operatorname {cf} (\alpha ) &gt; \alpha</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. Finally, we calculate the cardinality of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper B left-parenthesis alpha right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>α<!-- α --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">B(\alpha )</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and prove that, for every singular cardinal <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="alpha comma StartAbsoluteValue upper B left-parenthesis alpha right-parenthesis EndAbsoluteValue equals StartAbsoluteValue upper B left-parenthesis alpha right-parenthesis EndAbsoluteValue Superscript alpha Baseline equals StartAbsoluteValue upper N left-parenthesis alpha right-parenthesis EndAbsoluteValue Superscript c f left-parenthesis alpha right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>α<!-- α --></mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace width="thickmathspace" /> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>α<!-- α --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>α<!-- α --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>α<!-- α --></mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>α<!-- α --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>cf</mml:mi> <mml:mo>⁡<!-- ⁡ --></mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>α<!-- α --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\alpha ,\;|B(\alpha )| = |B(\alpha ){|^\alpha } = |N(\alpha ){|^{\operatorname {cf} (\alpha )}}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> where <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper N left-parenthesis alpha right-parenthesis equals StartSet p element-of beta left-parenthesis alpha right-parenthesis colon there is upper A element-of p with StartAbsoluteValue upper A EndAbsoluteValue greater-than alpha EndSet"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>α<!-- α --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo fence="false" stretchy="false">{</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>∈<!-- ∈ --></mml:mo> <mml:mi>β<!-- β --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>α<!-- α --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mspace width="thickmathspace" /> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mtext>there is</mml:mtext> </mml:mrow> <mml:mspace width="thickmathspace" /> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo>∈<!-- ∈ --></mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mspace width="thickmathspace" /> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mtext>with</mml:mtext> </mml:mrow> <mml:mspace width="thickmathspace" /> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mi>α<!-- α --></mml:mi> <mml:mo fence="false" stretchy="false">}</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">N(\alpha ) = \{ p \in \beta (\alpha ):\;{\text {there is}}\;A \in p\;{\text {with}}\;|A| &gt; \alpha \}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>.

Locations

• Proceedings of the American Mathematical Society - View - PDF